Modelling complex flows between fluids and solids

Des besoins théoriques et pratiques pour la modélisation des écoulements complexes

Dans la nature, les écoulements liquides sont presque toujours complexes.
Par friction, les éléments de la matière liquide (molécules, grains...) entraînent leurs voisins
quand ils se meuvent. La friction est essentielle pour comprendre comment des éléments
différents s’organisent au sein d’un liquide en écoulement, par exemple comment du sable se
mélange à de l’eau. Mais cette friction, la cause élémentaire d’une propriété essentielle des
fluides appelée viscosité, est aussi très complexe à modéliser, car les éléments de matière
liquide ne sont pas organisés régulièrement au contraire des solides cristallins.
Plus de deux siècles après les premiers modèles mathématiques de milieux continus fluides,
comment bien modéliser la friction (et la viscosité) au sein des liquides reste une question
pour les théoriciens et les praticiens, notamment en vue de mieux décrire le mélange au sein
des liquides en écoulement.

Avec le soutien de l'ANR (projet SEDIFLO) on s’est particulièrement intéressé aux liquides en écoulement transitoire,
quand la vitesse moyenne des éléments s’écoulant en un point d’espace donné évolue en
temps. Par exemple, quand des éléments initialement au repos sont mis en mouvement par
leurs voisins : on pense à de l’érosion entre deux couches liquides au fond des rivières.

Aux fondements de la mécanique des milieux continus, pour introduire de nouveaux outils
de modélisation

Pour mieux décrire la friction entre des éléments de liquides, donc la viscosité d’un liquide,
le projet SEDIFLO a questionné les fondements physiques et mathématiques de la mécanique
des milieux continus. L’outil de modélisation essentiel – le champ de déplacement de la
matière – a été complété par un nouvel outil : des champs décrivant la structure de la
matière, qui varient en espace et en temps afin de bien décrire la friction interne.
Complémentaire des théories historiques pour solides et fluides (Newtoniens) contraints de
se déformer « simplement », le nouvel outil permet enfin de formuler précisément une
modélisation viscoélastique complexe proposée dès le dix-neuvième siècle. Avec un nouveau
système d’équations aux dérivées partielles, le projet SEDIFLO a ainsi obtenu ce qui semble
être le premier modèle général de fluide visqueux hyper-élastique, où l’information physique
se propage à vitesse finie. Ce modèle, qui peut s’adapter à diverses géométries (couches
minces, par exemple) et à divers fluides (non-Newtoniens, par exemple), est une avancée
essentielle pour la théorie et la pratique des écoulement complexes.
Le projet SEDIFLO a pu unifier la mécanique des milieux continus solides et fluides avec de
nouvelles équations aux dérivées partielles qui permettent, pour la première fois, de modéliser
des écoulements visqueux transitoires conformément aux divers principes de la physique
classique. En complétant la théorie standard avec quelques variables supplémentaires, ces
nouvelles équations aux dérivées partielles sont une base pour de nouvelles modélisations
d’écoulements complexes, afin de mieux non seulement la viscosité au sein des liquides en
écoulement, mais aussi le mélange des éléments constituant le liquide.

L’ANR a soutenu les recherches fondamentales de Sébastien Boyaval d’octobre 2016 à
octobre 2022 avec une bourse Jeunes-Chercheurs-Jeunes-Chercheuses de 250kE. En vue
d’améliorer les fondements du génie hydraulique, le projet SEDIFLO a ainsi pu employer
trois jeunes docteurs en contrat post-doctoral et des stagiaires pour un coût global de 350kE.

[B2021] Boyaval, S. Viscoelastic flows of Maxwell fluids with conservation laws ESAIM
Math. Model. Numer. Anal., 2021, 55, 807-831

[BD2022] Boyaval, S. & Dostalik, M. Non-isothermal viscoelastic flows with conservation
laws and relaxation J. Hyperbolic Differ. Equ., 2022, 19, 337-364

[B2023] Boyaval, S. A viscoelastic flow model of Maxwell-type with a symmetric-hyperbolic
formulation Comptes Rendus. Mécanique (2023)